למידת בעיות-The-

ההיסטוריה של המתמטיקה

מילים נרדפות במובן הרחב יותר

שינויים בשיעורי מתמטיקה, שיעורי חשבון, מתודולוגיה אריתמטית, מתמטיקה חדשה, דיסלקוליה, חולשות אריתמטיות

הַגדָרָה

המונח מתמטיקה מקורו במילה היוונית "מתמטה" והוא מיועד למדע. המדע הוא נרחב יותר בימינו, עם זאת, ולכן המילה מתמטיקה מייצגת את המדע של ספירה, מדידה וחישוב, כמו גם גיאומטריה.

לפיכך, בשיעורי המתמטיקה מוטלת המשימה ללמד ספירה, מדידה, חשבון וביסודות הגיאומטריים באופן שיושג הבנה של התוכן. שיעורי מתמטיקה קשורים תמיד לביצוע תובעני וקידום. גישות ותמיכה מיוחדות נחוצות, במיוחד כאשר קיימת חולשה בספירה או אפילו דיסלקוליה.

הִיסטוֹרִיָה

מבחינה היסטורית, מה שנלמד בשיעורי מתמטיקה כיום, פותח והוגדר עוד יותר במשך מאות שנים. את מקורות כל החשבון ניתן למצוא כבר במאה ה -3 לפני הספירה, שניהם מהעתיקים מצרים טוב כמו ה בבלים. בהתחלה, המחשוב עקב בקפידה על כללים מבלי לפקפק בסיבה ספציפית.
התשאול וההוכחה היו רכיבים שלמעשה היו קיימים רק בתקופות של יוונים הפך לחשוב. במהלך תקופה זו נעשו הניסיונות הראשונים לפשט חשבון. מכונת החישוב "ABAKUS" פותחה.

זה לקח הרבה זמן עד שהאריתמטיקה הפכה נגישה באופן כללי ובעוד שבתחילה רק מעטים נבחרים הורשו ללמוד לקרוא, לכתוב וחשבון, הם נוצרו איתם. יוהן עמוס קומניוס והדרישה שלו לחינוך כולל לצעירים משני המינים במאה ה -17, הופיעו בהדרגה הסימנים הראשונים לחינוך לכולם. "אומנס, אומניה, אומנינו: אלן, הכל, כל חובק" היו סיסמאותיו.
בשל ההשפעות ההיסטוריות, יישום דרישותיו לא היה אפשרי בתחילה. אולם כאן מתברר מהן ההשלכות שיש לדרישה כזו. דרישת חינוך לכולם פירושה גם לאפשר חינוך לכולם. זה קשור לשינוי ביחס להוראת הידע (המתמטי), מה שנקרא דידקטיקה. נאמן למוטו: "מה הידע של המורה שלי עושה בשבילי אם הוא לא יכול להעביר את זה?", לקח הרבה זמן עד שהבנת שאתה יכול לקבל רק תובנה והבנה של הנסיבות אם אתה עובד במישורים רגשיים שונים. רמות שמתייחסות לנסיבות באופן משמעותי באופן דידקטי.
בנוסף להעברת הידע, חוקי השקופיות כבר השתמשו בקרן ובקבוצנייר איור המספרים ושיטות החישוב שלהם בדוי. יעקב הר המציא גם את שנות השלושים של המאה ה -19 לצורך המחשה מאות טבלה להמחשת טווחי המספרים ופעולותיהם, אמצעים אחרים להדמיה בעקבותיהם.
באופן מיוחד יוהן היינריך פסטלוצי (1746-1827) פיתחו עוד יותר שיעורי חשבון מודרניים. עבור פסטלוצי שיעורי המתמטיקה היו יותר מסתם היישום הפשוט של שיטות חישוב שונות. יש לעודד ולאתגר את היכולת לחשוב באמצעות שיעורי מתמטיקה. שישה יסודות חיוניים קבעו את שיעורי החשבון של פסטלוזי ואת הרעיון שלו לשיעור חשבון טוב. מוצרים אלה:

שיעור המתמטיקה הוא המוקד, כלומר החלק החשוב ביותר של הכיתה כולה.
עזרים חזותיים קונקרטיים מחיי היומיום (למשל אפונה, אבנים, גולות, ...) כדי להבהיר את מושג המספרים ואת הפעולות (הסר = חיסור; הוסף = הוספה, חלוקה = חלוקה, חבילה של אותו ערך (למשל 3 חבילות של שש = 3 פעמים 6)
לחשוב דרך במקום פשוט ליישם כללים שאינם מובנים.
חשבון נפשי לאוטומציה וקידום מיומנויות חשיבה.
הדרכה בכיתה
לימוד תכנים מתמטיים לפי המוטו: מהקל לקשה.

במאה העשרים פיתח את מה שמכונה בפדגוגיה פדגוגיה רפורמית. השינויים המתוכננים תויגו עם "המאה של הילד", אוֹ. "פדגוגיה מהילד" מונע קדימה. באופן מיוחד מריה מונטסורי ואלן קיי יש להזכיר בשם זה בעניין זה. גם לילדים החלשים יותר התחשבו במיוחד.
בדומה להתפתחות שיטות קריאה שונות ראה חולשות קריאה ואיות גם כאן היו שתי שיטות חישוב עיקריות אשר יושמו רק באופן מקיף בשיעורים לאחר מלחמת העולם השנייה, כלומר במיוחד בשנות ה -50 עד אמצע שנות ה -60. מוצרים אלה:

התהליך הסינטטי
התהליך ההוליסטי

השיטה הסינתטית של יוהנס קוחנל מניח שהבנות מתמטיות שונות אפשריות בהתאם לגיל הילד וכי רצף זה בנוי זה על זה. הוא חש במבט כרגע חיוני במיוחד בהעברת ידע מתמטי ובקידום חולשות חשבון. שינון בלבד לא בהכרח מרמז על הבנת הידע שנלמד. עזר חזותי חיוני היה גיליון מאות, שכבר דמה למאות הסדינים שילדינו השתמשו בהם בשנה השנייה ללימודים.

הנוהל ההוליסטי של יוהנס ויטמן מצד שני, בתחילה הספרות (1, 2, ...) "גורשו" מהכיתה ורואה בטיפול בסטים ופיתוח מושג הסט כגורם חיוני ודרישה בסיסית ליכולת פיתוח מושג המספרים. סדר (בשורה), קיבוץ (לפי צבעים, לפי אובייקטים, ...) ובניית (למשל הגדרת רצפים מכמויות לא מסודרות) היו חלק מההתמודדות עם כמויות.
שלא כמו קוניל, שהכתיב את ההבנה של תוכן מתמטי אינדיבידואלי לגיל הילד, ויטמן מניח הבנה רבה יותר. בתהליך ההוליסטי של ויטמן, ילד יכול לספור רק כאשר מושג הכמות מבוסס. הלמידה המתמטית עובדת כאן שלב אחר שלב, קיימות 23 רמות של שיעורי חשבון.

בעוד אחד היה עסוק ביישום נהלים אלה בבתי הספר, חידושים פדגוגיים ודידקטיים כבר התפתחו, במיוחד באמצעות תוצאות המחקר של הפסיכולוג השוויצרי. ז'אן פיאגט (1896-1980) הוטבעו.

ז'אן פיאז'ה

ז'אן פיאגט (1896-1980) עבד במכון ז'אן ז'אק רוסו בז'נבה עם שאלות מתחום הפסיכולוגיה של ילדים ומתבגרים וכן מתחום החינוך. בעקבותיה התפרסמו מספר רב של פרסומים (ראו סרגל הבאנרים הימני). ביחס לשיעורי מתמטיקה, ניתן לסכם את תוצאות פיאז'ה כדלקמן:

התפתחות החשיבה הלוגית עוברת שלבים שונים, מה שנקרא שלבים.
השלבים בונים זה על זה ולעיתים יכולים לקיים אינטראקציה זה עם זה, מכיוון שלב אחד לא מסתיים בן לילה והשלב הבא התחיל.
הבנייה זו על זו מרמזת כי תחילה יש להשיג את יעדי השלב המתרחש לפני שניתן להתחיל שלב חדש.
מידע הגיל יכול להשתנות באופן פרטני, ניתן להעלות על הדעת זמן מעבר של כ -4 שנים. הסיבה לכך היא שלא ניתן לפתור (כראוי) מבנה לוגי על ידי כל הילדים באותו גיל.
בכל רמה מורגשים שני התהליכים התפקודיים התלויים הדדית של הסתגלות קוגניטיבית לסביבה: הטמעה (= קליטת תוכן חדש) ואירוח (= התאמת התנהגות באמצעות תרגול, הפנמה וחדירה נפשית).

שלבי ההתפתחות הקוגניטיבית על פי ז'אן פיאז'ה (1896-1980)

שלב החיישן
מ- 0 עד 24 חודשים

מיד לאחר הלידה הילד שולט רק ברפלקסים הפשוטים, שמתוכם מתפתחות פעולות נשלטות באופן שרירותי.
בהדרגה, הילד מתחיל לשלב את הרפלקסים עם אחרים. רק בגיל כחצי שנה הילד מגיב במודע לגירויים חיצוניים.
בסביבות גיל שמונה עד 12 חודשים, הילד מתחיל לפעול בכוונה. זה יכול, למשל, לדחוף חפצים לתפוס חפץ אחר שהוא רוצה. בגיל זה ילדים גם מתחילים להבחין בין אנשים. זרים נראים בחשדנות ונדחים ("זרים").
במהלך ההמשך הילד מתחיל להתפתח ולהסתבך יותר ויותר עם החברה.
השלב לפני הניתוח
מגיל שנתיים עד 7 שנים

הכשרה של פעילויות אינטלקטואליות הופכת חשובה יותר ויותר. עם זאת, הילד אינו יכול לשים את עצמו בנעלי אנשים אחרים, אך רואה את עצמו כמרכז והמוקד של כל האינטרסים. אחד מדבר על חשיבה אגוצנטרית (הקשורה לאגו), שאינה מבוססת על היגיון. אם ..., אז ... - ככלל, לא ניתן לחדור נפשית לתוצאות.
שלב פעולות הבטון
בין 7 ל -11 שנים

בשלב זה הילד מפתח את היכולת לחדור לקשרים ההגיוניים הראשונים עם תפיסה קונקרטית. בניגוד לאגוצנטריות, מתפתח ריכוזיות. המשמעות היא שהילד כבר לא רק רואה את עצמו כמוקד, אלא גם מסוגל לראות ולתקן טעויות או התנהגות שגויה.
ביחס לשיעורי מתמטיקה, היכולת לבצע פעולות נפשיות על חפצים קונקרטיים חשובה מאוד. אבל זה כולל גם את היכולת להביט לאחור על כל מה שקשור בראש (הפיכה). מבחינה מתמטית משמעות הדבר היא למשל: הילד יכול לבצע פעולה (למשל תוספת) ולהפוך אותה באמצעות פעולה נגדית (משימת היפוך, חיסור).
בחקירותיו לקביעת תופעות הלוואי של הניתוחים האישיים, ביצע פיאז'ה ניסויים שנועדו לאשש את תיאוריותיו. ניסיון חשוב - הקשור לשלב זה - היה העברת כמויות שוות של נוזלים לכלי בגדלים שונים. אם ממלאים נוזל, נניח 200 מ"ל, לכוס רחבה, שפת המילוי עמוקה יותר מאשר בכוס צרה וגבוהה. בעוד מבוגר יודע שכמות המים נותרה זהה למרות הכל, ילד מחליט בשלב לפני הניתוח שיש יותר מים בכוס הגבוהה. בסוף שלב הפעולות הספציפיות, צריך להיות ברור שיש כמות שווה של מים בשתי הכוסות.
שלב הפעולות הרשמיות
בין 11 ל 16 שנים

בשלב זה חשיבה מופשטת מופעלת. בנוסף, בשלב זה הילדים הופכים טובים יותר ויותר לחשוב על מחשבות ולהסיק מסקנות מתוך שפע של מידע.

כל שלב כולל שלב פיתוח ולכן הוא משקף פרק זמן. תקופות זמן אלה יכולות להשתנות עד ארבע שנים, כך שאינן נוקשות. כל שלב משקף את היסודות הרוחניים שהושגו והם בתורו נקודת המוצא לשלב הבא של ההתפתחות.

ביחס להמשך פיתוח ועיצוב של שיעורי מתמטיקה מרוכזת ילדים וקידום ידידותי לילדים של בעיות למידה, לתוצאות של פיאז'ה היו השפעות מסוימות. הם שולבו בתורתו של ויטמן וכך מה שמכונה "השיטה המבצעית - ההוליסטית" התפתחה מהגישה ההוליסטית. בנוסף, היו גם דידקטיבים שניסו ליישם את ממצאי פיאז'ה מבלי לשלב אותם ברעיונות אחרים. מכאן התפתחה "השיטה האופרטיבית".

לאחר מלחמת העולם השנייה

השנים שלאחר מלחמת העולם השנייה היו בסימן המלחמה הקרה ומירוץ החימוש בין ברית המועצות דאז לארצות הברית. לדוגמה, המדינות המכוונות המערב תפסו את העובדה שברית המועצות הצליחה לשגר לוויין לחלל לפני ארה"ב כזעזוע, מה שנקרא הלם ספוטניק. כתוצאה מכך, החליטה ה- OECD לחדש את הוראת המתמטיקה, שהועברה לבתי הספר בשנת 1968 על ידי ועידת שרי החינוך והתרבות: תיאוריה מוגדרת הובאה להוראת המתמטיקה. אבל זה לא הכל. המודרניזציה כללה:

הצגת תורת הקבוצות
שילוב מוגבר של הגיאומטריה
תובנה לעובדות מתמטיות צריכה לבוא לפני יישום כללים פשוט
טיזרים במוח וטיזרים במוח כדי להדגיש מה שנקרא מתמטיקה "יצירתית".
חשבון במערכות ערכי מקום שונות (מערכת כפולה)
משוואות ואי-שוויון בשיעורי מתמטיקה מתקדמים
תורת ההסתברות, היגיון
פיתרון סוגיות באמצעות עצי חישוב ותרשימי חצים
...

חידושים אלה גם לא הצליחו לעמוד על עצמם בטווח הארוך. "המתמטיקה של תורת הקבוצות", כפי שהיא נקראה באופן קולוני, זכתה לביקורת חוזרת ונשנית.נקודת הביקורת העיקרית הייתה הדעה כי השימוש בטכניקות אריתמטיות ותרגול הוזנח, אך הדברים הוכשרו שלעתים היו מעט מאוד רלוונטיות לחיי היומיום. "המתמטיקה החדשה" נחשבה מופשטת מדי. עובדה שלא התאימה כלל לילדים מספריים עניים.

מתמטיקה היום

כַּיוֹם ניתן למצוא גישות שונות מההתפתחויות האישיות בשיעורי מתמטיקה. כך למשל פיאגט גם ידע בסיסי בדידקטיקה במתמטיקה עדיין חשיבות רבה כיום. חשוב - בנוסף לכל העובדות שיש להעביר, עליהן מחייבת תכנית הלימודים או תוכנית המסגרת של בית הספר - לדבוק ברצף התוכן המתמטי החדש שנלמד. ילדי בית הספר היסודי, למשל, נמצאים בשלב של פעולות קונקרטיות, ובמקרים מסוימים אולי גם בשלב שלב לפני הניתוח. הנה ה חשיבות רבה לאינטואיציה להבנה. תוכן חדש שיש ללמוד תמיד צריך להיות מבוסס על התוכן עקרון ה- E-I-S לחדור פנימה כדי להציע לכל ילד אפשרות להבין.

ה עקרון E - I - S מייצג חדירה אנטיקטיבית (משחק עם חומרים חזותיים), איקוני (= ייצוג ציורי) וחדירה סמלית.
כעת יש להבהיר זאת - על סמך התוספת. את ההבנה של התוספת ניתן להשיג באופן אקטיבי באמצעות אריחי מיקום, אבני מוגלגים וכדומה. הילד מבין שצריך להוסיף משהו. לסכום ההתחלתי 3 (אריחים, מכוניות, אבני מוגלגים, ...) מוסיפים עוד 5 חפצים מאותה כמות. ניתן לראות שיש כיום 8 (אריחי מיקום, מכוניות, אבני מוגלגים, ...) ומאשרים זאת על ידי ספירתם.
החדירה האיקונית תועבר כעת לרמה הוויזואלית. אז זה מצייר את המשימה במעגלים בספר התרגיל:

0 0 0 + 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0 = לוחית מיקום, ...)

ניתן להשתמש גם בתמונות של החדירה הפעילה (תמונות של מכוניות וכו '). העברה מתבצעת עם הוספת המספרים: 3 + 5 = 8
המבנה השיטתי והצמצום ההדרגתי של הנוף, מועיל במיוחד לילדים שיש להם בעיות בקליטת תוכן חדש. בנוסף, הוא א אינטואיציה ככלל שכל הילדים יפנימו תוכן מתמטי חִיוּנִי.

יתכנו ילדים (עם חולשות אריתמטיות או אפילו דיסלקציה) שעושים מייד את המעבר מהפעילה לרמה הסמלית. ניתן להעלות על הדעת שילדים מסוגלים לחשוב מבצעית פורמלית כבר מההתחלה. אחת הסיבות לכך היא ש- שלבי פיתוח בשום אופן לא נוקשים אך יכולות להתרחש תזוזות של עד ארבע שנים. תפקידו של המורה לברר באיזו דרגה נמצאים ילדים בודדים ובהתאם לכוון את השיעורים בהתאם.